2020-03-04

2020年大阪大学理系第5問

今日はこの問題。

f:id:mossanmathema:20200227143527p:plain — 2020阪大理系5

分野：数I(予選決勝法) ，数A(三角形の性質)，(数I(三角比) or 数III(2次曲線))

難易度：普通+α　("計算ゴリ押し"なら，やや難)

解答時間：25分〜30分

数IIIの知識はなくても解けます。

(1)は，三角形ABCの形状を議論する必要があるでしょう。Vは三角形ABCがいずれの形状にせよ同じ値になります。Aが楕円周上にあることを見抜ければ楽ですが，そうでない場合は，少し計算がハードかも。およそ2変数関数の形をしているので，予選決勝法でしょうね。問題にあるようにaを固定(=a を定数と見做す)して，残りの1変数を動かします。2次式なので平方完成でしょう。

(2)は，決勝戦です。今度は(1)で固定していたaを動かして，max・minを考えます。

これも2次式なので平方完成です。

2020-03-03

2020年大阪大学理系第4問

大学入試問題大阪大学理系数学

今日はこの問題。

f:id:mossanmathema:20200227143445p:plain — 2020阪大理系4

分野：数II(領域)，数III(極限，積分)

難易度：普通

解答時間：25分

まずは，領域を図示しましょう。

結局 $t\to\infty$ してしまうので，tは十分大きい都合のいいものを用意しましょう。

交点は計算するのが面倒なので，文字で置きましょう。小さい方から $\alpha,\,\beta$ とします。具体値が必要なら後で求めます。

S(t)は面積パズルです。三角形から余分な部分の面積を除きましょう。

S(t)をtだけで表そうとするのが，ちょっと面倒です。

対称式や交代式がボロボロ出てくるので，解と係数の関係ですかね。 $\beta-\alpha$ は直接解を求めて引いた方があっさりでます。

極限計算はおまけみたいなもんです。分子の有理化をしたりなどの工夫はありますが，至って標準的な問題でした。

2020-03-02

2020年大阪大学理系第3問

大学入試問題大阪大学理系数学

今日はこの問題。

f:id:mossanmathema:20200227143347p:plain — 2020阪大理系3

分野：数I(三角比)，数B(数学的帰納法) or 数III(微分法)

難易度：普通

解答時間：20分

文系 $\fbox{3}$ とほとんど同じです。

$\angle{\mathrm{ABC}}=\theta$ とおいて，与えられた条件を数式化していきましょう。2辺とその対角の情報がわかっているので，正弦定理を使うのは見えるでしょう。

ここまで来たらあと一息です。

$n\in\mathbb{N}$ に関する証明なので，数学的帰納法を用いても良いですが，微分法を用いる方が何も考えなく出来ると思います。

2020-03-01

2020年大阪大学理系第2問

理系数学大学入試問題大阪大学

22:00更新は暫く大阪大学を続けます。

不定期に上げるものに関しては，その限りではありません。

f:id:mossanmathema:20200227143238p:plain — 2020阪大理系2

分野：数A(確率)，数B(数列)，数III(複素数平面，極限)

難易度：やや易~普通

解答時間：20分

これも完答でしょう。

複素数平面なんてあってないようなもんです。なので文系の人も解けると思います。最後の極限計算は置いといて，一般項を求めるまでは出来るはず。

確率変数が，X，Y，Zと3つも登場して，面倒臭そうですが，条件を一つ一つ整理していけば，さいころを投げて，出た目に応じて，点Pが正六角形の頂点を動いていくという試行に帰着出来ます。文系 $\fbox{2}$ のちょっと強いver.くらいのノリです。

(1)は特に言うことはないですが，どうしても分からなければ素朴に該当パターンをすべて数え上げてしまうのも手でしょう。

(2)もまぁなんてことないです。積の法則でバラして各回ごとにみていきましょう。

(3)は確率漸化式です。

確率を問われたらn回目で場合分け，場合の数を問われたら1回目で場合分け。

今回は前者ですね。

これは一般的には言えません。確率で1回目に場合分けするものもありますし，場合の数でn回目で場合分けするものもあります。なので，

問題毎に見極める必要があります。今回はn回目で場合分けします。

というべきでした。すみません。*1

*1:2020/03/03 追記

2020-02-29

2020年大阪大学理系第1問

理系数学大学入試問題大阪大学

今日は大阪大学をやっていきます。

f:id:mossanmathema:20200227143158p:plain — 2020阪大理系1

分野：数学III(微分法)

難易度：易

解答時間：10~15分

教科書の例題に毛を生やしたレベルです。これは完答以外ありえません。

$\displaystyle y=x^{\frac{1}{x}}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したグラフになります。平行移動前のグラフは定番中の定番ですね。

微分は，対数微分法を用いれば良いでしょう。もしくは， $f(x)=e^{\log f(x)}$ として合成関数の微分でしょうか。本質的にはどっちも同じなんですけどね。

少し高級ではありますが，2変数関数の合成関数の微分法を用いても出来ます。

一般に， $\displaystyle z=f(x,\,y)$ に $(x,\,y)=(x(t),\,y(t))$ を代入した $z=f(x(t),\,y(t))$ に対して，

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{d x}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}$

が成り立ちます。

$\partial$ の記号を初めて見るという方は，その変数以外は定数と見做して微分するという風に考えたら良いです。(詳しくは，偏微分を調べて下さい。)

このことを用いると， $\displaystyle z=(1+x)^{\frac{1}{1+y}}$ について，

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+y}(1+x)^{\frac{1}{1+y}-1}$ ， $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=(1+x)^{\frac{1}{1+y}}\log(1+x)\cdot\left\{-\frac{1}{(1+y)^{2}}\right\}$ であるから，

$\displaystyle z=(1+t)^{\frac{1}{1+t}}$ を $\displaystyle z=(1+x)^{\frac{1}{1+y}}$ に $x=y=t$ を代入したものと見做せば，

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{1}{1+t}(1+t)^{\frac{1}{1+t}-1}\cdot 1+(1+t)^{\frac{1}{1+t}}\log(1+t)\cdot\left\{-\frac{1}{(1+t)^{2}}\right\} \cdot 1$