2020年北海道大学理系第5問 - (もっ・ω・さん)ぶろぐ

今日はこの問題。

分野：数III(極限，積分法)

難易度：普通

解答時間：15~20分

最初与えられた積分を見るとゾッとなりますが，実はそこまでヤバいものではありません。

(1) 積分区間を見ると，微分積分学の基本定理を使いたくなりますが，使った所で

$\displaystyle \frac{f'(x)}{\{1-f(x)\}f(x)}=a$

となって，微分方程式を解くことになりますが，これは定数分離型なので，結局積分をすることになり，微分したことが意味ないです。

$u=f(t)$ とでも置き換えてやれば見えてくると思います。もちろん，そのままの形で見える人は置き換えずやれば良いです。

置き換えてやると，

$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^{f(x)}\frac{1}{(1-u)u}\,du$

となるので，これは部分分数分解すれば積分が出来ます。

(2) 面積を求める問題ですが，これは与えられている条件：0<f(x)<1から，図示するまでもなく，積分範囲において $f(x)$ は $x$ 軸の上側にあることが分かります。

よって，

$\displaystyle S(a)=\int_{0}^{1} f(x)\,dx$

と立式できます。積分は $f(g)g'$ 型で， $f$ の積分があっさり求められるので，問題ないと思います。

$\displaystyle \lim_{a\to+0}S(a)$ は，微分係数の定義の利用です。

(1)が出来れば，(2)は落とせないですね。

答えはこちら。