2020-03-23

Evans-PDE①

最近，EvansのPDEを読み始めました。

第2章のLinear PDEを読み切ることを目標に。

Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics)

作者:Evans, Lawrence C.
発売日: 2010/04/02
メディア: ハードカバー

今回は，Laplace方程式の平均値の定理がメインディッシュです。

しかし，途中でArea formula/ Coarea formulaに出会って証明を理解したくなったので，最近はEvans，GariepyのMeasure Theory and Fine properties of functionsに脱線しがちです。

Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition (Textbooks in Mathematics)

作者:Evans, Lawrence Craig,Gariepy, Ronald F.
発売日: 2015/04/20
メディア: ハードカバー

2020-03-17

2020年九州大学理系第5問

理系数学大学入試問題九州大学

1日1題って簡単そうにみえて実際続けるのが難しいですね。

今日は，この問題。

f:id:mossanmathema:20200228044810p:plain — 2020九大理系5

分野：数学III(積分法【体積，空間の回転体，不等式で表された立体の体積】)

難易度：普通

解答時間：25分

個人的に空間幾何が苦手なので，苦戦しましたが，標準的な問題に思えます。

定義に戻って忠実に解けば大丈夫です。

DやらEやらTを集合として明示するのが個人的に好きです。

Eを分割する平面の方程式についてはきちんとベクトルを使って求めたんですが，予備校の解答とかを見ると，何も言わずにあっさり書いてました。

こういう回転体の体積は，誘導がなくても切断して，断面積を求めて，それを積分するというのが基本になります。切断面は回転軸に垂直になるように切ります。

(1)については，切断面を指定されているので問題の通り $\displaystyle x=t$ で切りましょう。すると，断面は台形になるので，台形の面積公式で終わり。

体積は，断面積を $-1≦t≦1$ で積分します。

(2) は「まず切れ。そして回せ。」と「最大距離・最小距離だけ見よ。」です。

今回は $\displaystyle x$ 軸のまわりに回転させるので，

こちらも $\displaystyle x=t$ で切ります。

(1)で登場した断面を少しいじれば(2)の断面が出来ます。

この際，最大距離と最小距離に着目すると，回転体の断面が分かります。

断面積がドーナツみたいな円環領域(annulus)になるのは良いでしょう。

断面積は，大きい半径の円の面積から小さい半径の円の面積を除けばOKですね。

体積は，それを $\displaystyle -1≦t≦1$ で積分します。

2020-03-08

2020年北海道大学理系第5問

大学入試問題北海道大学理系数学

今日はこの問題。

f:id:mossanmathema:20200227142137p:plain — 2020北大理系5

分野：数III(極限，積分法)

難易度：普通

解答時間：15~20分

最初与えられた積分を見るとゾッとなりますが，実はそこまでヤバいものではありません。

(1) 積分区間を見ると，微分積分学の基本定理を使いたくなりますが，使った所で

$\displaystyle \frac{f'(x)}{\{1-f(x)\}f(x)}=a$

となって，微分方程式を解くことになりますが，これは定数分離型なので，結局積分をすることになり，微分したことが意味ないです。

$u=f(t)$ とでも置き換えてやれば見えてくると思います。もちろん，そのままの形で見える人は置き換えずやれば良いです。

置き換えてやると，

$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^{f(x)}\frac{1}{(1-u)u}\,du$

となるので，これは部分分数分解すれば積分が出来ます。

(2) 面積を求める問題ですが，これは与えられている条件：0<f(x)<1から，図示するまでもなく，積分範囲において $f(x)$ は $x$ 軸の上側にあることが分かります。

よって，

$\displaystyle S(a)=\int_{0}^{1} f(x)\,dx$

と立式できます。積分は $f(g)g'$ 型で， $f$ の積分があっさり求められるので，問題ないと思います。

$\displaystyle \lim_{a\to+0}S(a)$ は，微分係数の定義の利用です。

(1)が出来れば，(2)は落とせないですね。

2020-03-07

2020年大阪大学文系第3問

大阪大学文系数学大学入試問題

今日はこの問題。

f:id:mossanmathema:20200305161649p:plain — 2020阪大文系3

分野：数I(図形と計量)，数II(不等式の証明，三角関数)

難易度：易

解答時間：10分

理系 $\fbox{3}$ と基本的には同じ方針です。

$\angle{\mathrm{ABC}}=\theta$ とおいて，正弦定理を利用します。

$\displaystyle \frac{b}{\sin\theta}=\frac{c}{\sin 3\theta}$ から， $b~\rm{or}~c$ をもう1方の文字で表します。

$n$ が含まれないので取っ付き易いかと思います。

2020-03-06

2020年大阪大学文系第2問

大阪大学文系数学大学入試問題

今日はこの問題。

f:id:mossanmathema:20200305161100p:plain — 2020阪大文系2

分野：数A(確率)，数B(数列)

難易度：易

解答時間：15分

確率漸化式の問題です。小問にしたがって，解いていけば特に問題ないと思います。

本質的には，理系 $\fbox{2}$ と同じ問題です。

さいころをn回投げたあと点QがAにいるか，Bにいるか，Cにいるかの3つの場合があります。それぞれの確率を $\displaystyle p_{n},\,q_{n},\,r_{n}$ として，連立漸化式を考えれば良いですが，時計回りに移動する確率と反時計周りに移動する確率が同じことに注意すると，QがAにいるかいないかのみに着目すれば良いことになります。