2020年大阪大学理系第1問 - (もっ・ω・さん)ぶろぐ

今日は大阪大学をやっていきます。

f:id:mossanmathema:20200227143158p:plain — 2020阪大理系1

分野：数学III(微分法)

難易度：易

解答時間：10~15分

教科書の例題に毛を生やしたレベルです。これは完答以外ありえません。

$\displaystyle y=x^{\frac{1}{x}}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したグラフになります。平行移動前のグラフは定番中の定番ですね。

微分は，対数微分法を用いれば良いでしょう。もしくは， $f(x)=e^{\log f(x)}$ として合成関数の微分でしょうか。本質的にはどっちも同じなんですけどね。

少し高級ではありますが，2変数関数の合成関数の微分法を用いても出来ます。

一般に， $\displaystyle z=f(x,\,y)$ に $(x,\,y)=(x(t),\,y(t))$ を代入した $z=f(x(t),\,y(t))$ に対して，

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{d x}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}$

が成り立ちます。

$\partial$ の記号を初めて見るという方は，その変数以外は定数と見做して微分するという風に考えたら良いです。(詳しくは，偏微分を調べて下さい。)

このことを用いると， $\displaystyle z=(1+x)^{\frac{1}{1+y}}$ について，

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+y}(1+x)^{\frac{1}{1+y}-1}$ ， $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=(1+x)^{\frac{1}{1+y}}\log(1+x)\cdot\left\{-\frac{1}{(1+y)^{2}}\right\}$ であるから，

$\displaystyle z=(1+t)^{\frac{1}{1+t}}$ を $\displaystyle z=(1+x)^{\frac{1}{1+y}}$ に $x=y=t$ を代入したものと見做せば，

$\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{1}{1+t}(1+t)^{\frac{1}{1+t}-1}\cdot 1+(1+t)^{\frac{1}{1+t}}\log(1+t)\cdot\left\{-\frac{1}{(1+t)^{2}}\right\} \cdot 1$