大学入試の背景にある大学数学その1[問]

これは，東京理科大学理工学部の2010年の問題の改題です。

理系の受験生は解いてみて下さい。

実際の問題は，誘導がありましたが，省きました。

解答は少し時間を置いてupします。

[問]
(1)0以上の整数 $m,n$ に対し, $\displaystyle{ I(m,n)}$ を
$\displaystyle{ I(m,n) = \int_{0}^{1} x^m (1-x)^n dx}$ で定める.

このとき, $\displaystyle{ I(m,n) = \frac{m! n!}{(m+n+1)!}}$ となることを示せ.

(2) $f(x)$ を区間[0,1]で定義された連続関数とする.自然数nに対し,多項式 $\displaystyle{ P_n(x)}$ を
$\displaystyle{ P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k f \left( \frac{k}{n} \right) x^k (1-x)^{n-k}}$ で定める.このとき,
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} P_n(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx}$ となることを示せ.