大学入試の背景にある大学数学その2[問]

次の問題は，2015千葉大の問題です。

理系の問題ですが，(1)は文系でも解けます。

受験生は是非挑戦してみて下さい。

[問] $\quad 0$ 以上の整数 $n$ に対して，整式 $T_{n}(x)$ を

$T_{0}(x)=1,\quad T_{1}(x)=x,\quad T_{n}(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)\quad (n=2,\,3,\,\ldots)$

で定める。このとき，以下の問に答えよ。

$(1)\quad 0$ 以上の任意の整数 $n$ に対して， ${\displaystyle\quad \cos (n\theta)=T_{n}(\cos\theta)\quad}$ となることを示せ。

$(2)\quad$ 定積分 ${\displaystyle\quad \int_{-1}^{1}T_{n}(x)dx}\quad$ の値を求めよ。

これも毎年のようにどこかしらの大学が出題している有名な問題です。

解答編はいつ出来るか今の所目処が立っていませんが，1週間後くらいになりそうです。

(もっ・ω・さん)ぶろぐ